В именах арабских цифр каждая цифра принадлежит к своей категории, а каждые три цифры образуют класс. Поэтому последняя цифра числа указывает на количество единиц в нем и называется, соответственно, разрядом единиц. Следующая цифра, вторая с конца, обозначает десятки (цифра десятков), а третья цифра с конца указывает количество сотен в числе: цифра сотен. Кроме того, цифры повторяются точно так же в каждом классе, обозначая единицы, десятки и сотни в классах тысяч, миллионов и т д. Если число небольшое и не содержит разряда десятков или сотен, их принято принимать за ноль. Классы группируют числа в числа по три, часто в вычислительных устройствах или регистрах точка или пробел помещаются между классами, чтобы визуально разделить их. Это сделано для облегчения чтения больших чисел. Каждый класс имеет свое имя.
Поскольку мы используем десятичную систему, основной единицей количества является десяток, или 10 1 . Следовательно, с увеличением количества цифр в числе число десятков 10 2 , 10 3 , 10 4 и т д также увеличивается на три квадриллиона десятков. Разложение чисел на десятичные составляющие происходит следующим образом: каждая цифра показывается отдельным слагаемым, умножается на требуемый коэффициент 10 n, где n — положение цифры при счете слева направо.
Например: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1
Степень 10 также используется для записи десятичных дробей: 10 (-1) равно 0,1 или одной десятой. Аналогично предыдущему абзацу можно разложить и десятичное число, в этом случае n будет обозначать положение знака запятой справа налево, например: 0,347629= 3 × 10 (-1) +4 × 10 (- 2) +7 × 10 (-3) +6 × 10 (-4) +2 × 10 (-5) +9 × 10 (-6)
Названия десятичных чисел. Десятичные числа читаются по последней цифре после запятой, например 0,325 — триста двадцать пять тысячных, где тысячные — цифра последней цифры 5 .
Округление числа означает введение ограничения на количество цифр (отдельных чисел), которые используются для счета числа. Существуют определенные правила, которые помогут вам решить, когда следует округлять числа и как их следует округлять. Этот раздел поможет вам понять эти правила и правильно их применять.
Когда вы выполняете расчеты, числа, которые вы используете в своей работе, будут представлены одним из следующих способов:
- Целые числа 1;32;512
- Десятичные числа с целой частью 2,5;40,67;600,2
- Простые десятичные дроби 0,1;0,03;0,007
- Обыкновенные дроби
Для удобства дроби будут использоваться только при получении результатов вычислений в разделе «Алгебра» этого модуля. Обыкновенные дроби можно преобразовать в десятичные, разделив число над чертой (числитель) на число под чертой (знаменатель). Например, это можно записать как 3 ¸ 4 = 0,75.
В данном материале десятичные разряды будут обозначаться через запятую ‘ , ‘, например, 2.1 (в англоязычной литературе используется ‘ . ‘). Тысячи будут отмечены межцифровым интервалом, обозначающим сотни и тысячи, например, 13456 означает тринадцать тысяч четыреста пятьдесят шесть.
1.1 Значащие цифры
Количество разрядов, которое должно остаться для выражения результата вычисления, зависит от типа (этапа) вычисления и требуемой точности. Один из способов установить его — определить количество сохраняемых значащих цифр. «0» не является значащей цифрой, если только он не находится между двумя другими числами, например 103, или если он не является последним десятичным знаком, например 2,10. (Оба числа являются примерами чисел с тремя значащими цифрами.) Например, число 13 456 можно записать двумя значащими цифрами как 13 000 (обратите внимание, что нули здесь не являются значащими цифрами). Это обозначение удобно для представления результата, но не указывает на размер ответа. Например, 13 000 и 2,1 могут представлять результат округления до двух значащих цифр. Количество значащих цифр может, тем не менее, быть показателем точности данного числа. Это один из основных факторов, определяющих, сколько значащих цифр нужно сохранить.
1.2 Как пользоваться округлением
Округление можно выполнить, приняв во внимание необходимое количество значащих цифр, как обсуждалось в последнем абзаце, или зарезервировав десятичные разряды. Количество знаков после запятой — это количество знаков после запятой. Например, число 2,10 имеет два десятичных разряда (но три значащих цифры).
В обычной практике округление производится, если округляемое число больше или равно пяти. Например, числа 2,55, 2,56, 2,57, 2,58 и 2,59 будут записаны как 2,6 при округлении до двух значащих цифр. (или десятичная дробь). Числа 2,50, 2,51, 2,52, 2,53 и 2,54 будут записаны как 2,5 при округлении до двух значащих цифр (или одного десятичного знака). Эта операция называется округлением в меньшую сторону и обычно используется, когда цифры меньше или равны 5.
Читайте также: как включить mtp в андроиде
На столе 1 показано, как используются значащие цифры и десятичные разряды при округлении.
Значащие цифры, десятичные разряды и округление
| Расчетное значение | Количество значащих цифр | Количество десятичных разрядов | ||||
| Четыре | Три | Два | Четыре | Три | Два | |
| 525.7910 | 525,8 | 526 | 530 | 525.7910 | 525 791 | 525,79 |
| 0,003417 | 0,003417 | 0,00342 | 0,0034 | 0,0034 | 0,003 | 0,00 |
1.3 Когда использовать округление
Есть две основные причины, по которым следует округлять числа, а именно
дать осмысленный ответ
показать точность измерения.
Для некоторых расчетов ответ имеет смысл только в том случае, если результат соответствует заранее определенному уровню значимости. Простым примером этого может быть, когда вы хотите рассчитать количество людей, которые могут сидеть за столом, окружность которого составляет 345 см. Если каждому дать по 75 см, то разделив 345 на 75, получится 4,6 человека! Очевидно, что 0,6 человека не имеет никакого смысла, когда речь идет о том, сколько человек может сидеть за столом. Если вы примените правила округления, приведенные в разделе 1.2, ответ будет равен 5. Но это пример «обычной практики» и не дает очень осмысленного ответа. Пятеро сядут рядом; в этом случае 4 будет лучшим ответом.
Вы всегда должны думать о том, что ответ означает с практической точки зрения.
Точность числа может быть результатом количества десятичных разрядов данных значащих цифр в числе. Например, если длина футбольного поля определена как 110 м, это означает, что это поле измеряется с точностью до 10 м. Его фактическая длина может составлять от 105 м до 114 м. Если длина поля записана как 108,54 м, это означает, что она измеряется с точностью до сотой доли метра (сантиметра). Это очень точное измерение. Количество знаков после запятой в этом случае определяется методом измерения. Очевидно, что нет смысла принимать 108,54 м за длину футбольного поля, если измерение производится рулеткой, где метр — наименьшее деление. Разумнее будет говорить о значении 109 м, то есть округлить до одного метра.
1.4 Как определить число десятичных знаков
Есть несколько простых правил, которые применяются при определении того, сколько десятичных разрядов или значащих цифр следует хранить в числе. Эти правила таковы:
- Подумайте о значении полученного вами ответа. (Как в примере с количеством людей, которые могут сидеть за столом).
- Если число является результатом вычисления, то вы должны сохранить столько десятичных разрядов или значащих цифр, сколько имеется в наименьшем точном числе, используемом в вычислении. Например,
2,1 х 3,45 х 1,3 = 9,4185 = 9,4 (округлено)
- Если число является результатом измерения, обратите внимание, как оно было получено и насколько оно может быть точным. (Как пример с футбольным полем.)
- Подумайте, насколько точно вам нужно получить результат. (Например, ответ можно округлить до ближайших десяти.)
Этот материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби. Сначала давайте дадим основные определения, приведем примеры и обсудим правила десятичной записи, а также то, какие цифры обозначают десятичные дроби. Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В заключительной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.
Что такое десятичная запись дробных чисел
Так называемая десятичная запись дробных чисел может использоваться как для натуральных, так и для дробных чисел. Он выглядит как набор из двух или более чисел с запятой между ними.
Десятичная точка используется для отделения целой части от дробной. Как правило, последняя цифра десятичного числа никогда не бывает нулем, если только десятичная точка не стоит сразу после первого нуля.
Каковы некоторые примеры дробных чисел в десятичной системе счисления? Это может быть 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9 и т.д.
В некоторых учебниках вместо запятой можно встретить точку (5.67, 6789.1011 и т д.). Этот вариант считается равноценным, но более характерен для англоязычных шрифтов.
Определение десятичных дробей
Исходя из изложенного выше понятия десятичной системы счисления, можно сформулировать следующее определение десятичных дробей:
Десятичные дроби — это дробные числа в десятичной системе счисления.
Почему нам нужно записывать дроби в такой форме? Это дает нам некоторые преимущества перед обычными, например более компактную запись, особенно в случаях, когда знаменатель 1000, 100, 10 и т д или смешанное число. Например, вместо 6 10 можно указать 0.6, вместо 25 10000 — 0.0023, вместо 512 3 100 — 512.03 .
О правильном представлении обыкновенных дробей с десятками, сотнями и тысячами в знаменателе в десятичной форме будет рассказано в отдельном материале.
Как правильно читать десятичные дроби
Существуют некоторые правила чтения десятичных регистров. Таким образом, те десятичные дроби, которые соответствуют их правильным обычным эквивалентам, читаются почти так же, но с добавлением слов «ноль десятых» в начале. Тогда ввод 0 , 14 , что соответствует 14 100 , читается как «ноль целых четырнадцать сотых».
Если десятичная дробь может быть связана со смешанным числом, то она читается так же, как это число. Итак, если у нас есть дробь 56,002, что соответствует 56 2 1000, мы читаем запись как «пятьдесят шесть целых две тысячных».
Что такое разряды в десятичных дробях
Значение цифры в десятичной системе счисления зависит от того, где она находится (так же, как и в случае с натуральными числами). Так, в десятичной дроби 0, 7 семь — это десятые, в 0,0007 — десятитысячные, а в дроби 70 000 345 означает семь десятков тысяч целых единиц. Таким образом, в десятичных дробях также присутствует понятие числового разряда.
См также: Местные звонки что это значит
Названия цифр, стоящих перед запятой, аналогичны тем, которые существуют в натуральных числах. Имена найденных после наглядно представлены в таблице:
У нас есть десятичное число 43 098. У нее четверка в разряде десятков, тройка в разряде единиц, ноль в разряде десятых, 9 в разряде сотен и 8 в разряде тысячных .
Принято различать цифры десятичных дробей по старшинству. Если мы будем двигаться по числам слева направо, мы перейдем от старших цифр к младшим. Получается, что сотни больше десятков, а миллионные меньше сотых. Если взять ту последнюю десятичную дробь, которую мы привели в качестве примера выше, то в ней наибольшей, или наибольшей, будет цифра сотен, а наименьшая, или наименьшая, будет цифра 10-тысячных.
Любую десятичную дробь можно разбить на отдельные цифры, то есть представить в виде суммы. Эта операция выполняется так же, как и для натуральных чисел.
Попробуем разложить дробь 56,0455 на цифры.
Мы сможем:
56,0455 = 50 + 6 + 0,4 + 0,005 + 0,0005
Если помнить о свойствах сложения, то эту дробь можно представить и другими способами, например, в виде суммы 56 + 0,0455, или 56,0055 + 0,4 и т д.
Что такое конечные десятичные дроби
Все дроби, о которых мы говорили ранее, являются конечными десятичными. Это означает, что количество цифр после запятой конечно. Получим определение:
Конечные десятичные дроби — это тип десятичной дроби с конечным числом цифр после запятой.
Примерами таких дробей могут быть 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 и т д.
Любую из этих дробей можно преобразовать в смешанное число (если значение ее дробной части не равно нулю) или в обыкновенную дробь (если целая часть равна нулю). Как это делается, мы посвятили отдельный материал. Укажем здесь лишь пару примеров: например, мы можем преобразовать конечную десятичную дробь 5,63 в вид 5 63 100 , а 0,2 соответствует 2 10 (или любой другой дроби, равной ей, например, 4 20 или пятнадцати .)
А вот обратный процесс, т.е обыкновенную дробь, не всегда можно записать в десятичной форме. Так 5 13 нельзя заменить на равную дробь со знаменателем 100, 10 и т.д., а значит конечная десятичная дробь не получится.
Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби
Ранее мы отмечали, что конечные дроби названы так потому, что они имеют конечное число цифр после запятой. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби тоже будем называть бесконечными.
Бесконечные десятичные дроби — это те, которые имеют бесконечное количество цифр после запятой.
Очевидно, что такие числа просто невозможно записать полностью, поэтому мы указываем только их часть, а затем ставим многоточие. Этот знак указывает на бесконечное продолжение последовательности десятичных разрядов. Примерами бесконечных десятичных чисел могут быть 0, 143346732.., 3, 1415989032.., 153, 0245005.., 2, 66666666666.., 69, 748768152. и т д
В «хвосте» такой дроби могут быть не только, казалось бы, случайные последовательности чисел, но и постоянное повторение одного и того же символа или группы символов. Дроби с чередованием после запятой называются повторяющимися.
Повторяющиеся десятичные дроби — это бесконечные десятичные дроби, в которых цифра или группа цифр повторяются после запятой. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.
Например, для дроби 3, 444444.. периодом будет число 4, а для 76, 134134134134… — группа 134 .
Какое минимальное количество символов разрешено в повторяющейся дроби? Для периодических дробей достаточно один раз написать весь период в скобках. Итак, дробь 3, 444444.. правильно будет записать как 3, (4), а 76, 134134134134… — как 76, (134) .
В общем случае записи с несколькими точками в скобках будут иметь точно такое же значение: например, периодическая дробь 0,677777 совпадает с 0,6 (7) и 0,6 (77) и т д образует 0,67777 (7), 0,67 (7777), так далее
Во избежание ошибок введем единообразие обозначений. Условимся писать только одну точку (кратчайшую возможную последовательность цифр), ближайшую к запятой, и заключать ее в круглые скобки.
То есть для указанной выше дроби мы будем считать вход 0, 6 (7) основным, а, например, в случае дроби 8, 9134343434 будем писать 8, 91 (34) .
Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые множители, не равные 5 и 2, то при переводе в десятичную систему счисления из них получатся бесконечные дроби.
В принципе, мы можем записать любую конечную дробь как периодическую. Для этого нам просто нужно добавить бесконечное количество нулей справа. Как это выглядит в реестре? Допустим, у нас есть итоговая дробь 45, 32. В периодическом виде она будет иметь вид 45, 32 (0). Это действие возможно потому, что добавление нулей справа от любой десятичной дроби дает нам равную ей дробь.
Отдельно следует остановиться на периодических дробях с периодом 9, например, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Они представляют собой альтернативное обозначение аналогичных дробей с периодом 0, поэтому их часто заменяют при записи дробей с периодом ноль. При этом к значению следующей цифры добавляется единица, а в скобках указывается (0). Равенство полученных чисел легко проверить, представив их в виде обыкновенных дробей.
См также: Потребляемая мощность МФУ в кВт
Например, дробь 8, 31 (9) можно заменить соответствующей дробью 8, 32 (0). Или 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .
Бесконечные десятичные повторяющиеся дроби являются рациональными числами. Другими словами, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби и наоборот.
Существуют также дроби, в которых нет бесконечно повторяющейся последовательности после запятой. В этом случае их называют неповторяющимися дробями.
К неповторяющимся десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, которые не содержат точки после запятой, т.е повторяющаяся группа чисел.
Иногда неповторяющиеся дроби очень похожи на повторяющиеся дроби. Например, 9, 03003000300003.. на первый взгляд кажется, что есть точка, но более пристальный взгляд на десятичные дроби подтверждает, что это все еще неповторяющаяся дробь. С такими цифрами нужно быть очень осторожным.
Неповторяющиеся дроби — это иррациональные числа. Они не переводятся в обыкновенные дроби.
Основные действия с десятичными дробями
С десятичными дробями можно выполнять следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждый из них отдельно.
Сравнение десятичных дробей можно свести к сравнению обыкновенных дробей, соответствующих исходным десятичным дробям. Но бесконечные неповторяющиеся дроби нельзя привести к такому виду, а преобразование десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей. Как быстро выполнить действие сравнения, если нам нужно сделать это в процессе устранения неполадок? Десятичные дроби удобно сравнивать по цифрам так же, как мы сравниваем целые числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.
Для сложения одной десятичной дроби с другой удобно использовать метод сложения столбиков, как и для натуральных чисел. Чтобы сложить повторяющиеся десятичные дроби, нужно сначала заменить их обыкновенными дробями и считать по стандартной схеме. Если по условиям задачи нам нужно сложить бесконечно много неповторяющихся дробей, мы должны сначала округлить их до определенного разряда, а затем сложить. Чем меньше цифра, до которой мы округляем, тем выше точность вычисления. Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей также необходимо предварительное округление.
Нахождение разности десятичных дробей противоположно сложению. На самом деле с помощью вычитания мы можем найти число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшенную. Подробнее об этом мы поговорим в отдельной статье.
Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого подходит и столбчатый метод расчета. Снова сводим это действие с периодическими дробями к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, перед счетом необходимо округлить.
Процесс деления десятичных дробей обратный процессу умножения. При решении задач мы также используем подсчет столбцов.
Положение десятичных дробей на оси координат
Вы можете установить точное соответствие между конечным десятичным знаком и точкой на оси координат. Разберемся, как отметить на оси точку, которая будет точно соответствовать нужной десятичной дроби.
Мы уже изучили, как строить точки, соответствующие обыкновенным дробям, и к этому виду можно привести десятичные дроби. Например, обыкновенная дробь 14 10 такая же, как 1 , 4 , поэтому соответствующая ей точка будет точно на таком же расстоянии от начала координат в положительном направлении:
Можно обойтись без замены десятичной дроби обыкновенной и взять за основу метод разложения разряда. Итак, если нам нужно отметить точку, координата которой будет равна 15,4008, мы сначала представим это число в виде суммы 15 + 0,4 + .0008. Для начала разделим 15 целых единичных отрезков в положительном направлении от начала координат, затем 4 десятых отрезка, а затем 8 десятитысячных отрезка. В результате мы получим координатную точку, которая соответствует дроби 15, 4008 .
Для бесконечной десятичной дроби лучше всего использовать именно этот метод, так как он позволяет подобраться к нужной точке настолько близко, насколько вам нужно. В некоторых случаях можно построить точное соответствие бесконечной дроби на оси координат: например, 2 = 1,41421, и этой дроби можно поставить в соответствие точку на координатном луче, удаленную от 0 на длину диагонали квадрата, сторона которого будет равна единичному отрезку.
Если мы найдем не точку на оси, а соответствующую десятичную дробь, то это действие называется десятичной мерой отрезка. Давайте посмотрим, как это сделать правильно.
Допустим, нам нужно пройти от нуля до заданной точки на оси координат (или подобраться как можно ближе в случае бесконечной дроби). Для этого отделяем единичные отрезки от начала координат, пока не достигнем нужной точки. После целых отрезков, при необходимости, измеряем десятые, сотые и более мелкие части, чтобы совпадение было максимально точным. В результате мы получили десятичную дробь, соответствующую заданной точке на оси координат.
Выше мы привели изображение с точкой М. Посмотрите еще раз: чтобы попасть в эту точку, нужно отмерить единичный отрезок из нуля и четырех десятых, так как эта точка соответствует десятичной дроби 1, 4 .
Если мы не можем достичь точки в процессе десятичного измерения, то это означает, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.